Oficjalnie linie lotnicze Malév założono w roku 1946, lecz czerpią one z długiej i bogatej tradycji węgierskiego lotnictwa. Już w 1910 roku tamtejszy rząd utworzył bowiem przedsiębiorstwo lotnicze Aero, które odróżniało się od konkurencji m.in. posiadaniem własnej szkoły dla pilotów i techników. Po zakończeniu pierwszej wojny światowej węgierskie samoloty jako jedne z pierwszych na świecie zostały wykorzystane do przewozu poczty. Transport osób zaczął się w roku 1922, gdy takie firmy jak Aeroexpress i Hungarian Aviation otworzyły połączenia obsługiwane za pomocą pasażerskich Junkersów i Fokkerów. Rozwój branży został zatrzymany dopiero przez drugą wojnę światową, w wyniku której flota największego przewoźnika w kraju - firmy Malert - została całkowicie zniszczona.

Po zakończeniu konfliktu kraj czekała odbudowa, oczywiście przeprowadzana z pomocą - i pod nadzorem - Związku Radzieckiego. Należy jednak zaznaczyć, że bez udziału Rosjan przebiegałaby ona o wiele wolniej, a szybkie przywrócenie świetności branży transportowej nie byłoby możliwe. W roku 1946 powstał węgiersko-sowiecki przewoźnik lotniczy Maszovlet, na którym spoczęło zadanie organizacji i nadzoru ruchu powietrznego oraz związanych z nim zagadnień, m.in. transportu bagaży. Wkład Sowietów obejmował dostarczenie samolotów i części do nich, a także oddanie do dyspozycji instruktorów lotu.

Pierwszym samolotem Maszovletu był radziecki Li-2, zaprojektowany tuż przed wojną. Miał on stanowić trzon miniaturowej floty, uzupełnionej wkrótce przez kilka egzemplarzy dwupłatowego Po-2. Pierwsze przeloty odbywały się między większymi miastami Węgier, na wytyczenie tras międzynarodowych brakowało bowiem środków. W ciągu pierwszego roku działalności bilety lotnicze Maszovletu zakupiło 1864 pasażerów. Był to wynik bardzo skromny, zarówno w porównaniu do konkurencji z innych krajów, jak i do osiągów sprzed wojny - wówczas dziesięć tysięcy pasażerów rocznie stanowiło zupełnie przeciętną liczbę.

Pierwsze połączenie zagraniczne zaprowadziło Węgrów do Pragi. Choć w planach było również wytyczenie tras do Polski, Serbii i Rumunii, firma nie podołała finansowo takiemu przedsięwzięciu. Rozmiary przedsiębiorstwa były niewielkie, ale jakość świadczonych usług dorównywała zachodniej konkurencji, bowiem w podobnym okresie na pokładzie świadczącego międzynarodowe przeloty samolotu pojawiły się stewardessy. Przedsiębiorstwo mogło pochwalić się bardzo dobrze wyszkoloną obsługą pokładową - aby dołączyć do załogi, kandydaci musieli znać przynajmniej dwa języki obce. Wśród wymogów znalazł się również wiek: nie mogły być to osoby starsze niż trzydziestoletnie. Ze stu pięćdziesięciu kandydatów tylko jedenaścioro przeszło do dalszego etapu rekrutacji, a ostatecznie zatrudniono jedynie cztery osoby.

Pasażerowie nie mieli powodów do narzekania, zwłaszcza że Maszovlet prowadził korzystną dla nich politykę cenową. Bilety lotnicze do danego miasta nie mogły być droższe niż ich kolejowe odpowiedniki - podróż samolotem w najgorszym wypadku kosztowała zatem tyle, co przejazd pociągiem w wagonie pierwszej klasy. Pozwoliło to zaoferować tanie loty w epoce, w której samolot był powszechnie uważany za najdroższy środek transportu. Dzięki dużemu zainteresowaniu usługami, w roku 1954 przedsiębiorstwo mogło wreszcie rozszerzyć sieć zagranicznych połączeń o zaplanowane wcześniej miejscowości. Pod koniec roku Węgry stać było na odkupienie udziałów Związku Radzieckiego. Wówczas przemianowano firmę na Malév. W dwa lata później zaczęła się ekspansja do zachodniej części Europy.

Nawiązano połączenie z Wiedniem, które obsługiwał Douglas DC-6 - najbardziej zaawansowany technologicznie pojazd we flocie przedsiębiorstwa. Park maszynowy powiększał się. Oprócz wspomnianego samolotu w jego skład wchodziło także osiem Li-2. Były to, niestety, maszyny w owym czasie przestarzałe, należy bowiem pamiętać że przełom lat pięćdziesiątych i sześćdziesiątych stanowił początek ery odrzutowców. Firma inwestowała jednak w swe lotnisko, szukając przychodów nie tylko w transportowaniu pasażerów, ale także w przyjmowaniu samolotów zagranicznych linii. Pod koniec lat 50. zdecydowano się zakupić od Rosjan śmigłowe Iły-14. Przejęto także dodatkowe Li-2, należące do wojska, a obecnie nieużywane. Wykorzystywano je w międzynarodowych lotach towarowych.

Nowe samoloty pozwoliły linii otworzyć nowe, bardzo dochodowe trasy. Węgrzy mogli się dostać m.in. do Paryża, Brukseli, Moskwy czy Rzymu. Niedługo później sieć połączeń Malév objęła niemal całą Europę, a w latach sześćdziesiątych rozszerzyła się na wschodnią Azję i północną część Afryki. Rozwój był możliwy dzięki zakupowi turbośmigłowych Iłów-18, zdolnych przewozić naraz niemal dziewięćdziesiąt osób. Pod koniec dekady przedsiębiorstwo świadczyło przeloty do 28 krajów, choć jednocześnie borykało się z kryzysem finansowym, związanym z przynoszącymi straty połączeniami międzymiastowymi. W jego wyniku wszystkie wewnątrzkrajowe trasy zostały zlikwidowane.

Era odrzutowców wkroczyła do Węgier z opóźnieniem. Konkurenci z całego świata rezygnowali z samolotów śmigłowych już na początku lat sześćdziesiątych, Malév natomiast nabył swoje pierwsze odrzutowce w końcówce dekady. Były to radzieckie Tu-134. Wkrótce nowsze modele maszyn - Tu-154 - wyparły przestarzałe Iły, które przesunięto do filii towarowej. W podobnym okresie z linii zdjęto odpowiedzialność za zarządzanie lotniskiem i ruchem powietrznym, tworząc odpowiedni organ mający zająć się tymi zagadnieniami. Przewoźnik natomiast miał skupić się na tym, co robił najlepiej, czyli na przewozie osób. W połowie lat siedemdziesiątych firma wdrożyła komputerowy system rezerwacji biletów, który uprościł i przyspieszył organizowanie lotów. W następnej dekadzie skupiono się natomiast na rozszerzaniu sieci połączeń, a także na modernizacji floty. Zakupiono słynne amerykańskie Boeingi 737 i brytyjskie BAE.

W 1992 Malév rozpoczęła prywatyzację. Udziały w firmie wykupiła między innymi włoska linia Alitalia. Rozpoczęła się bliższa współpraca z koncernem Lockheed, który miał zapewnić obsługę techniczną należących do Węgrów samolotów. Nawiązano połączenia ze Stanami Zjednoczonymi. W roku 1997 przewoźnik otworzył swą stronę internetową, która od 2003 roku umożliwia zakup biletów on-line. Obecnie każdego roku z usług Malév korzystają ponad trzy miliony pasażerów. Firma jest członkiem stowarzyszenia lotniczego Oneworld, zrzeszającego najlepszych przewoźników lotniczych na świecie. Mimo względnie niewielkich rozmiarów cieszy się bardzo dobrą - i wypracowaną w pocie czoła - reputacją.